F Z Zが存在すること G Z は正則
F Z Zが存在すること G Z は正則. R > 0 を dr(a) := fz 2 c j jz aj < rg ˆ d として, テイラー展開から 定理 (一致の定理) f, g は領域 1 d ⊂ c 上で正則な関数とする．.
よってf(0) = 1/h(0) = 1 と定めればf(z) はz = 0 の近傍での正則関数になる．よってz = 0 は除去可能 特異点である． (2) f の分母が0 になる点はz = 2πki, k ∈ z で，それ以外の点では正則になる．z = 0 は(1) で示したよ F が部分集合s(領域でなくてもよい)のすべての点z で連続の時, f はs で連続という. F (z) が「点 0 で正則」であるとは「点 z 0 の近傍の各点で微分可能」なことをいい、点 を関数 f の正則点と呼 ぶ。また関数 f (z) が = 0 で正則でないとき、点 を特異点という。 例 10 べき乗 z n の微分は、 2 項展開の公式 (z +) n = nz 1 1 2 n 1) 2
D → C が正則 ⇒ F ±G;
Z = 0でのsinz のtaylor 展開よりg(z)はc全体で正則。 よって特にz = 0の周りで連続。閉区間[0;1]上の連続関数は積分可能であるから、積分 ∫1 1 g(x)dxが収束することを示せばよい。そのためにcauchyの判定法を用いる。つまり s > t > 0 として ∫s t このときc 内部の点z におけるf(z) の値は, コーシーの積分公式(9.1) より, f(z) = 1 2…i i c f(‡) ‡ ¡z d‡ (10.4) と与えられる. （ただし \ ( z = x + iy \)）.
F が部分集合S(領域でなくてもよい)のすべての点Z で連続の時, F はS で連続という.
B(a;r) ˆ ωで一様収束する冪級数 f(z) = ∑1 n=0 an(z a)n は何回でも複素微分可能であり、各係数は an = f(n)(a) n! よってf(0) = 1/h(0) = 1 と定めればf(z) はz = 0 の近傍での正則関数になる．よってz = 0 は除去可能 特異点である． (2) f の分母が0 になる点はz = 2πki, k ∈ z で，それ以外の点では正則になる．z = 0 は(1) で示したよ (i) u で正則な関数g が存在して、f(z) = (z −c)kg(z) (z ∈ u), g(c) ̸= 0.
Z!Z0 F(Z)−F(Z0) Z −Z0 が存在する． 3.
F(z) がjzj 1 の開近傍(それを含むある開集合という意味) で正則であって、jf(z)j が jzj = 1 で定数m で、しかもjzj < 1 で零点を持たなければ、f(z) は定数であることを示せ。 問題114. たとえば|z−z0| < δ はz ∈ uz0,δ. (f ·g)0 = f0 ·g +f ·g0;
定理 (一致の定理) F, G は領域 1 D ⊂ C 上で正則な関数とする．.
ての点zの近傍の全ての点において微分可能であるから，関数f(z)=zn は 全ての点で正則である。なお，導関数はf (z)=nzn−1 である。 例題4.8 関数f(z)=|z|2 の正則性を調べよ。 f(z)=x2 +y2 であるから，f(z)=u(x,y)+iv(x,y) とおくと， u(x,y)=x2 +y2,v(x,y)=0 (2) f(z) := z (3) g(z)が原点で複素微分可能であるとき、f(z) := g(z 1+z) 定理1. (証明）仮定より, f(a) = f′(a) = = f(k 1)(a) = 0, f(k)(a) ̸= 0 である.
(Ii) F ( C ) = F ′ ( C ) = ··· = F ( K− 1) ( C ) = 0, F ( K ) ( C ) ̸= 0.
F (z) = u (x,y) + i v (x,y) \]とする。. F (z) が「点 0 で正則」であるとは「点 z 0 の近傍の各点で微分可能」なことをいい、点 を関数 f の正則点と呼 ぶ。また関数 f (z) が = 0 で正則でないとき、点 を特異点という。 例 10 べき乗 z n の微分は、 2 項展開の公式 (z +) n = nz 1 1 2 n 1) 2 (2) ある1点 a ∈ d と， z k → a かつ z k ≠ a ( k ∈ n) を満たすような d 上の点列 { z k } が存在し， f ( z k) = g ( z k) ( k ∈ n) を満たす．.
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